Théorème des accroissements finis
Théorème
Une variable
Théorème des accroissements finis :
Soit \(f:[a,b]\to\Bbb R\) une fonction continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\)
Alors $$\exists c\in]a,b[\text{ tq } {{f(b)-f(a)}}={{f'(c)(b-a)}}$$
Théorème des accroissements finis :
- \(f\) est une fonction réelle définie sur un intervalle \([a,b]\) fermé
- \(f\) est continue sur \([a,b]\)
- \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\)
$$\Huge\iff$$
- il existe \(c\in\,]a,b[\) tel que $$\begin{align}&f(b)-f(a)=f^\prime(c)(b-a)\\ \\ \overset{a\ne b}\iff&f^\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\end{align}$$
(
Continuité,
Dérivabilité)
Démonstration :$$\begin{align}&\text{on introduit :}\\ &h:[a,b]\longrightarrow\Bbb R\\ &x\longmapsto (f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)\\ &\text{montrons que }\forall x\in[a,b],h(x)=0\\ \\ &h\text{ est continue sur }[a,b]\text{ et est dérivable sur }]a,b[\\ &\text{de plus, }\\ &h(a)=(f(b)-f(a))a-(b-a)f(a)\\ &=af(b)-\cancel{af(a)}-bf(a)+\cancel{af(a)}\\ &h(b)=(f(b)-f(a))b-(b-a)f(b)\\ &=\cancel{bf(b)}-bf(a)-\cancel{bf(b)}+af(b)\\ \\ &\text{donc d'après le théorème de Rolle,}\\ &\exists c\in[a,b],h'(c)=0\\ &\text{or }h'(x)=f(b)-f(a)-(b-a)f'(x)\\ &\implies f(b)-f(a)-(b-a)f'(c)=0 \end{align}$$
(
Théorème de Rolle)
Corollaire :
Inégalité des accroissements finis (Une variable)
Deux variables
Théorème des accroissements finis :
Soit \(f: U\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^1\) sur un ouvert \(U\subset{\Bbb R}^2\)
Si le segment \([a,b]\subset U\), alors il existe \(c\in]a,b[\) tel que $$f(b)-f(a)=\langle\operatorname{grad} f(c)\mid b-a\rangle$$
Théorème des accroissements finis (fonction de deux variables) :
- \(f\) est une fonction réelle définie sur un ouvert \(U\subset{\Bbb R}^2\)
- \(f\) est de classe \(\mathscr C^1\)
- le segment \([a,b]\) est compris dans \(U\) (\([a,b]\subset U\))
$$\Huge\iff$$
- il existe \(c\in\,]a,b[\) tel que : $$f(b)-f(a)=\langle\operatorname{grad} f(c)\mid b-a\rangle$$
(
Classe de fonctions,
Ouvert,
Gradient,
Produit scalaire)
Théorème des accroissements finis :
$${{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)}}={{h\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+k\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)}}$$
avec \(\theta\in]0,1[\)
Preuve : se ramener au cas d'une variable
Corollaire :
Inégalité des accroissements finis (Plusieurs variables)
Corollaire du théorème des accroissements finis :
Soit \(f:U\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^1\) sur \(U\) connexe
Si \(\operatorname{grad} f(x,y)=(0,0)\) pour tout \((x,y)\in U\),
Alors \(f\) est une fonction constante sur \(U\)
Corollaire du théorème des accroissements finis (fonction de deux variables) :
- \(f\) est une fonction réelle définie sur un ensemble connexe \(U\)
- \(f\) est de classe \(\mathscr C^1\)
- pour tout \((x,y)\in U\), \(\operatorname{grad} f(x,y)=(0,0)\)
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est une fonction constante sur \(U\)
(
Classe de fonctions,
Connexité,
Gradient,
Fonction constante)
Plusieurs variables
Théorème des accroissements finis (plusieurs variables) :
- soit \(F\) un \({\Bbb R}\)-espace vectoriel normé
- soit \(f:[a,b]\to F\)
- \(f\) est continue sur \([a,b]\)
- \(f\) est différentiable sur \(]a,b[\)
$$\Huge\iff$$
- $$\lVert f(b)-f(a)\rVert_F\leqslant\sup_{c\in]a,b[}\lVert f^\prime(c)\rVert_F(b-a)$$
Théorème des accroissements finis (plusieurs variables) (
version plus forte) :
- soient \(E,F\) des \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- soit \(U\) un ouvert de \(U\)
- soit \(f:U\to F\)
- supposons \(a\ne b\in U\) avec \([a,b]\subset U\)
- \(f\) est continue sur \([a,b]\)
- \(f\) est différentiable sur \(]a,b[\)
$$\Huge\iff$$
- $$\lVert f(b)-f(a)\rVert _F\leqslant\sup_{x\in\,]a,b[}\lVert df(c)\rVert_{\mathcal L_C(E,F)}\lVert b-a\rVert_E$$ avec \(\displaystyle\lVert df(x)\rVert_{\mathcal L_C(E,F)}=\sup_{h\in E}\frac{\lVert df(c)(h)\rVert}{\lVert h\rVert}\) la norme subordonnée
(
Norme triple - Norme subordonnée)
Théorème des accroissements finis à plusieurs variables 3 :
- soit \(F\) un espace vectoriel normé
- soient \(f:[a,b]\to F\) et \(g:[a,b]\to{\Bbb R}\)
- \(f,g\) sont continues sur \([a,b]\)
- \(f,g\) sont différentiables sur \(]a,b[\)
- \(\forall a\lt t\lt b,\qquad\lVert f^\prime(t)\rVert\leqslant g(t)\)
$$\Huge\iff$$
- $$\lVert f(b)-f(a)\rVert\leqslant g(b)-g(a)$$
Conséquences
Fonctions globalement et localement lipschitizennes
Caractérisation des fonctions lipschitziennes via TAF :
- soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- soit \(U\) un ouvert de \(E\)
- soit \(f:U\to F\) différentiable sur \(U\)
- \(U\) est connexe
- \(\exists k\gt 0,\forall x\in U,\qquad\lVert df(x)\rVert\leqslant k\)
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est \(k\)-lipschitzienne
(
Connexité,
Fonction lipschitzienne)
Corollaire :
Caractérisation des fonctions localement lipschitziennes via TAF :
- soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- \(E\) est de dimension finie
- soit \(U\) un ouvert de \(E\)
- soit \(f:U\to F\) de classe \(\mathcal C^1\)
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est localement lipschitzienne
(
Fonction lipschitzienne,
Classe de fonctions)
Fonctions constantes et affines
Caractérisation des fonctions constantes via TAF :
- soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- soit \(U\) un ouvert de \(E\)
- soit \(f:U\to F\)
- \(U\) est connexe
- \(\forall x\in U,\qquad df(x)=0\)
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est constante sur \(U\)
Corollaire :
Caractérisation des fonctions affines via TAF :
- soient \(E,F\) des \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- soit \(U\) un ouvert de \(E\)
- soit \(f:U\to F\)
- \(U\) est connexe
- \(df\) est constante
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est affine sur \(U\)
Fonctions de classe C1
Caractérisation des fonctions de classe \(\mathcal C^1\) via TAF :
- soient \(E_1,\dots,E_n\) des \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- soit \(U\) un ouvert de \(E\times \dots\times E_n\)
- soit \(f:U\to F\)
- \(U\) admet des différentielles partielles, qui sont continues sur \(U\)
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est \(\mathcal C^1\) sur \(U\)
[!Warning] Caractère local
Ce théorème n'aide pas pour dire si on a la différentiabilité en un point.
Dans des cas pathologiques (fonction différentiable en un seul point par exemple), on ne peut pas utiliser ce théorème.
(être \(\mathcal C^1\) en un point, ça n'a pas de sens)
Corollaire :
Caractérisation d'une fonction de classe \(\mathcal C^1\) sur \({\Bbb R}^n\) via TAF :
- soit \(F\) un espace vectoriel normé
- soit \(U\) un ouvert de \({\Bbb R}^n\)
- soit \(f:U\to F\)
- \(f\) admet des dérivées partielles, qui sont continues
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(U\)
Appliqué à une fonction discrète
Théorème des accroissements finis appliqué à une fonction discrète : $$\exists N\in{\Bbb N},\forall n\geqslant N,\quad\lvert f(n+1)-f(n)\rvert\leqslant\varepsilon$$
Exercices